Sistema di equazioni algebriche lineari

In questa pubblicazione considereremo la definizione di un sistema di equazioni algebriche lineari (SLAE), come appare, quali tipi esistono e anche come presentarlo in forma matriciale, anche estesa.

Definizione di un sistema di equazioni lineari

Sistema di equazioni algebriche lineari (o “SLAU” in breve) è un sistema che generalmente si presenta così:

• m è il numero di equazioni;
• n è il numero di variabili.
• x₁, X₂,…, X_n - sconosciuto;
• a₁₁,₁₂…, un_mn – coefficienti per incognite;
• b₁, b₂,…, B_m – membri gratuiti.

Indici di coefficiente (a_ij) sono formati come segue:

• i è il numero dell'equazione lineare;
• j è il numero della variabile a cui si riferisce il coefficiente.

Soluzione SLAU – tali numeri c₁, C₂,…, C_n , nella cui cornice invece di x₁, X₂,…, X_n, tutte le equazioni del sistema si trasformeranno in identità.

Tipi di SLAU

1. omogeneo – tutti i membri liberi del sistema sono uguali a zero (b₁ =b₂ =... = b_m = 0).

   

2. Eterogeneo – se la condizione di cui sopra non è soddisfatta.
3. Quadrata – il numero di equazioni è uguale al numero di incognite, es m = n.

   

4. Sottodeterminato – il numero di incognite è maggiore del numero di equazioni.

   

5. sovrascritto Ci sono più equazioni che variabili.

   

A seconda del numero di soluzioni, SLAE può essere:

1. Giunto ha almeno una soluzione. Inoltre, se è unico, il sistema si dice definito, se ci sono più soluzioni si dice indefinito.

   

   Lo SLAE di cui sopra è congiunto, perché esiste almeno una soluzione: x = 2, y = 3.

2. incompatibile Il sistema non ha soluzioni.

   

   Il lato destro delle equazioni è lo stesso, ma quello sinistro no. Quindi, non ci sono soluzioni.

Notazione matriciale del sistema

SLAE può essere rappresentato in forma matriciale:

AS = B

• A è la matrice formata dai coefficienti delle incognite:

  

• X – colonna di variabili:

  

• B – colonna dei membri gratuiti:

  

Esempio

Rappresentiamo il sistema di equazioni di seguito in forma matriciale:

Utilizzando i moduli sopra, componiamo la matrice principale con coefficienti, colonne con membri sconosciuti e liberi.

Registrazione completa del dato sistema di equazioni in forma matriciale:

Matrice SLAE estesa

Se alla matrice del sistema A aggiungi la colonna dei membri gratuiti a destra B, separando i dati con una barra verticale, si ottiene una matrice estesa di SLAE.

Per l'esempio sopra, si presenta così:

– designazione della matrice estesa.