In questa pubblicazione considereremo uno dei teoremi classici della geometria affine: il teorema di Ceva, che ha ricevuto tale nome in onore dell'ingegnere italiano Giovanni Ceva. Analizzeremo anche un esempio di risoluzione del problema al fine di consolidare il materiale presentato.
Enunciato del teorema
Triangolo dato ABC, in cui ogni vertice è connesso ad un punto sul lato opposto.
Quindi, otteniamo tre segmenti (AA', BB' и CC'), che sono chiamati ceviani.
Questi segmenti si intersecano in un punto se e solo se vale la seguente uguaglianza:
|E'| |NON'| |CB'| = |AVANTI CRISTO'| |SPOSTARE'| |AB'|
Il teorema può anche essere presentato in questa forma (si determina in quale rapporto i punti dividono i lati):
Il teorema trigonometrico di Ceva
Nota: tutti gli angoli sono orientati.
Esempio di un problema
Triangolo dato ABC con punti A', B ' и C ' ai lati BC, AC и AB, rispettivamente. I vertici del triangolo sono collegati ai punti dati e i segmenti formati passano per un punto. Allo stesso tempo, i punti A' и B ' preso nei punti medi dei corrispondenti lati opposti. Scopri in quale rapporto il punto C ' divide il lato AB.
Soluzione
Disegniamo un disegno in base alle condizioni del problema. Per nostra comodità, adottiamo la seguente notazione:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Resta solo da comporre il rapporto dei segmenti secondo il teorema di Ceva e sostituirvi la notazione accettata:
Dopo aver ridotto le frazioni, otteniamo:
Quindi, AC' = C'B, cioè punto C ' divide il lato AB a metà.
Pertanto, nel nostro triangolo, i segmenti AA', BB' и CC' sono mediane. Dopo aver risolto il problema, abbiamo dimostrato che si intersecano in un punto (valido per qualsiasi triangolo).
Nota: usando il teorema di Ceva, si può dimostrare che in un triangolo in un punto si intersecano anche le bisettrici o le altezze.