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In questa pubblicazione considereremo le proprietà di base dell'altezza in un triangolo equilatero (regolare). Analizzeremo anche un esempio di risoluzione di un problema su questo argomento.
Nota: si chiama il triangolo equilaterose tutti i suoi lati sono uguali.
Proprietà dell'altezza in un triangolo equilatero
Proprietà 1
Qualsiasi altezza in un triangolo equilatero è sia una bisettrice, una mediana e una bisettrice perpendicolare.
- BD – altezza abbassata di lato AC;
- BD è la mediana che divide il lato AC a metà, es dC = DC;
- BD – bisettrice angolare ABC, cioè ∠ABD = ∠CBD;
- BD è la perpendicolare mediana a AC.
Proprietà 2
Tutte e tre le altezze di un triangolo equilatero hanno la stessa lunghezza.
AE = BD = CF
Proprietà 3
Le altezze in un triangolo equilatero all'ortocentro (punto di intersezione) sono divise in un rapporto di 2:1, contando dal vertice da cui sono disegnate.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Proprietà 4
L'ortocentro di un triangolo equilatero è il centro dei cerchi inscritti e circoscritti.
- R è il raggio del cerchio circoscritto;
- r è il raggio del cerchio inscritto;
- R = 2r (segue da Proprietà 3).
Proprietà 5
L'altezza in un triangolo equilatero lo divide in due triangoli rettangoli di area uguale (area uguale).
S1 = S2
Tre altezze in un triangolo equilatero lo dividono in 6 triangoli rettangoli di uguale area.
Proprietà 6
Conoscendo la lunghezza del lato di un triangolo equilatero, la sua altezza può essere calcolata con la formula:
a è il lato del triangolo.
Esempio di un problema
Il raggio di una circonferenza circoscritta ad un triangolo equilatero è di 7 cm. Trova il lato di questo triangolo.
Soluzione
Come sappiamo da proprietà 3 и 4, il raggio della circonferenza circoscritta è 2/3 dell'altezza di un triangolo equilatero (h). Di conseguenza, h = 7∶2⋅3 = 10,5 cm.
Ora resta da calcolare la lunghezza del lato del triangolo (l'espressione è derivata dalla formula in Proprietà 6):
