Trovare la matrice inversa

In questa pubblicazione considereremo cos'è una matrice inversa e, utilizzando un esempio pratico, analizzeremo come può essere trovata utilizzando una formula speciale e un algoritmo per azioni sequenziali.

Definizione di matrice inversa

Innanzitutto, ricordiamo cosa sono i reciproci in matematica. Diciamo che abbiamo il numero 7. Allora il suo inverso sarà 7^-1 or ¹/₇. Se moltiplichi questi numeri, il risultato sarà uno, ovvero 7 7^-1 = 1.

Quasi lo stesso con le matrici. Invertire si chiama tale matrice, moltiplicando la quale per quella originaria si ottiene quella identitaria. È etichettata come A^-1.

AA^-1 =E

Algoritmo per trovare la matrice inversa

Per trovare la matrice inversa, devi essere in grado di calcolare le matrici, oltre ad avere le capacità per eseguire determinate azioni con esse.

Va notato subito che l'inverso può essere trovato solo per una matrice quadrata, e questo viene fatto usando la formula seguente:

|A| – determinante matriciale;

A^T_M è la matrice trasposta delle addizioni algebriche.

Nota: se il determinante è zero, la matrice inversa non esiste.

Esempio

Troviamo per la matrice A sotto c'è il contrario.

Soluzione

1. Per prima cosa, troviamo il determinante della matrice data.

2. Ora creiamo una matrice che abbia le stesse dimensioni di quella originale:

Dobbiamo capire quali numeri dovrebbero sostituire gli asterischi. Iniziamo con l'elemento in alto a sinistra della matrice. Il minore ad esso si trova barrando la riga e la colonna in cui si trova, cioè in entrambi i casi al numero uno.

Il numero che rimane dopo la barratura è il minore richiesto, ad es M₁₁ = 8.

Allo stesso modo, troviamo i minori per i restanti elementi della matrice e otteniamo il seguente risultato.

3. Definiamo la matrice delle addizioni algebriche. Come calcolarli per ogni elemento, abbiamo considerato in modo separato.

Ad esempio, per un elemento a₁₁ l'addizione algebrica è considerata come segue:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Eseguire la trasposizione della matrice risultante delle addizioni algebriche (cioè scambiare le colonne e le righe).

5. Resta solo da usare la formula sopra per trovare la matrice inversa.

Possiamo lasciare la risposta in questa forma, senza dividere gli elementi della matrice per il numero 11, poiché in questo caso otteniamo brutti numeri frazionari.

Controllo del risultato

Per assicurarci di ottenere l'inverso della matrice originale, possiamo trovare il loro prodotto, che dovrebbe essere uguale alla matrice dell'identità.

Di conseguenza, abbiamo ottenuto la matrice dell'identità, il che significa che abbiamo fatto tutto bene.