Elevare un numero complesso a una potenza naturale

In questa pubblicazione considereremo come un numero complesso può essere elevato a potenza (anche usando la formula di De Moivre). Il materiale teorico è accompagnato da esempi per una migliore comprensione.

Elevare un numero complesso a potenza

Innanzitutto, ricorda che un numero complesso ha la forma generale: z = a + bi (forma algebrica).

Ora possiamo procedere direttamente alla soluzione del problema.

Numero quadrato

Possiamo rappresentare il grado come un prodotto degli stessi fattori e quindi trovare il loro prodotto (ricordando che i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Esempio 1:

z=3+5i

z² = (3+5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9+15i+15i+25i² = -16+30i

Puoi anche usare, ovvero il quadrato della somma:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² +2abi-b²

Nota: Allo stesso modo, se necessario, si possono ottenere formule per il quadrato della differenza, il cubo della somma/differenza, ecc.

Ennesimo grado

Alza un numero complesso z in genere n molto più facile se rappresentato in forma trigonometrica.

Ricordiamo che, in generale, la notazione di un numero si presenta così: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Per l'esponenziale, puoi usare La formula di De Moivre (così chiamato dal matematico inglese Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

La formula si ottiene scrivendo in forma trigonometrica (si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti).

esempio 2

Alza un numero complesso z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) all'ottavo grado.

Soluzione

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + io sin 280°).