Estrazione della radice di un numero complesso

In questa pubblicazione, vedremo come si può prendere la radice di un numero complesso e anche come questo può aiutare a risolvere equazioni quadratiche il cui discriminante è minore di zero.

Estrazione della radice di un numero complesso

Radice quadrata

Come sappiamo, è impossibile prendere la radice di un numero reale negativo. Ma quando si tratta di numeri complessi, questa azione può essere eseguita. Scopriamolo.

Diciamo che abbiamo un numero z = -9. For √-9 ci sono due radici:

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3 i

Verifichiamo i risultati ottenuti risolvendo l'equazione z² = -9, senza dimenticarlo i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ io² = 9⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ io² = 9⋅ (-1) = -9

Quindi, lo abbiamo dimostrato -3i и 3i sono radici √-9.

La radice di un numero negativo di solito si scrive in questo modo:

√-1 = ± i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√ all'16 ottobre = ±4i ecc.

Radice alla potenza di n

Supponiamo di avere equazioni della forma z = ⁿ√w… Esso ha n radici (z₀, Di₁, Di₂,…, z_n-1), calcolabile con la formula seguente:

|w| è il modulo di un numero complesso w;

φ – la sua argomentazione

k è un parametro che assume i valori: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Equazioni quadratiche con radici complesse

L'estrazione della radice di un numero negativo cambia la solita idea di uXNUMXbuXNUMXb. Se il discriminante (D) è minore di zero, quindi non possono esserci radici reali, ma possono essere rappresentate come numeri complessi.

Esempio

Risolviamo l'equazione x² – 8x + 20 = 0.

Soluzione

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64-80 = -16

D<0, ma possiamo ancora prendere la radice del discriminante negativo:

√D = all'16 ottobre = ±4i

Ora possiamo calcolare le radici:

x_1,2 = (-b±√D)/2a = (8±4i)/2 = 4±2i.

Pertanto, l'equazione x² – 8x + 20 = 0 ha due radici coniugate complesse:

x₁ = 4+2i

x₂ = 4 – 2i