Proprietà dell'altezza di un triangolo rettangolo

In questa pubblicazione considereremo le principali proprietà dell'altezza in un triangolo rettangolo e analizzeremo anche esempi di risoluzione di problemi su questo argomento.

Nota: si chiama il triangolo rettangolare, se uno dei suoi angoli è retto (uguale a 90°) e gli altri due sono acuti (<90°).

Proprietà dell'altezza in un triangolo rettangolo

Proprietà 1

Un triangolo rettangolo ha due altezze (h₁ и h₂) coincidono con le sue gambe.

terza altezza (h₃) discende nell'ipotenusa da un angolo retto.

Proprietà 2

L'ortocentro (punto di intersezione delle altezze) di un triangolo rettangolo è al vertice dell'angolo retto.

Proprietà 3

L'altezza in un triangolo rettangolo disegnato sull'ipotenusa lo divide in due triangoli rettangoli simili, anch'essi simili a quello originale.

1. △ABD ~△ABC a due angoli uguali: ∠ADB = ∠LAC (linee rette), ∠ABD = ∠ABC.

2. △ADC ~△ABC a due angoli uguali: ∠ADC = ∠LAC (linee rette), ∠ACD = ∠ACB.

3. △ABD ~△ADC a due angoli uguali: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.

Dimostrazione: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). Allo stesso tempo ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

Pertanto, ∠BAD = ∠ACD.

Si può dimostrare in modo simile che ∠ABD = ∠DAC.

Proprietà 4

In un triangolo rettangolo, l'altezza disegnata per l'ipotenusa è calcolata come segue:

1. Attraverso segmenti sull'ipotenusa, formato come risultato della sua divisione per la base dell'altezza:

2. Attraverso le lunghezze dei lati del triangolo:

Questa formula è derivata da Proprietà del seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo (il seno dell'angolo è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa):

Nota: a un triangolo rettangolo si applicano anche le proprietà generali dell'altezza presentate nella nostra pubblicazione.

Esempio di un problema

Attività 1

L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è divisa per l'altezza ad essa attratta in segmenti di 5 e 13 cm. Trova la lunghezza di questa altezza.

Soluzione

Usiamo la prima formula presentata in Proprietà 4:

Attività 2

Le gambe di un triangolo rettangolo misurano 9 e 12 cm. Trova la lunghezza dell'altitudine disegnata per l'ipotenusa.

Soluzione

Per prima cosa, troviamo la lunghezza dell'ipotenusa lungo (lascia che le gambe del triangolo siano "per" и "B", e l'ipotenusa è "vs"):

c² = A² + B² = 9² + 12² = 225.

Di conseguenza, il с = 15 cm.

Ora possiamo applicare la seconda formula da Proprietà 4discusso sopra: