In questa pubblicazione considereremo cos'è il metodo gaussiano, perché è necessario e qual è il suo principio. Dimostreremo anche utilizzando un esempio pratico come il metodo può essere applicato per risolvere un sistema di equazioni lineari.
Descrizione del metodo di Gauss
Metodo Gauss è il metodo classico di eliminazione sequenziale delle variabili utilizzato per risolvere . Prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
Ma prima ricordiamo che SLAU può:
- avere un'unica soluzione;
- avere un numero infinito di soluzioni;
- essere incompatibile, cioè non avere soluzioni.
Vantaggi pratici
Il metodo di Gauss è un ottimo modo per risolvere uno SLAE che include più di tre equazioni lineari, nonché sistemi che non sono quadrati.
Principio del metodo di Gauss
Il metodo comprende i seguenti passaggi:
- dritto – la matrice aumentata corrispondente al sistema di equazioni, è ridotta in modo sopra le righe alla forma triangolare superiore (a gradini), cioè sotto la diagonale principale dovrebbero esserci solo elementi uguali a zero.
- precedente – nella matrice risultante, anche gli elementi sopra la diagonale principale sono posti a zero (vista triangolare inferiore).
Esempio di soluzione SLAE
Risolviamo il sistema di equazioni lineari di seguito utilizzando il metodo di Gauss.
Soluzione
1. Per cominciare, presentiamo lo SLAE sotto forma di matrice espansa.
2. Ora il nostro compito è ripristinare tutti gli elementi sotto la diagonale principale. Ulteriori azioni dipendono dalla matrice specifica, di seguito descriveremo quelle che si applicano al nostro caso. Innanzitutto, scambiamo le righe, posizionando così i loro primi elementi in ordine crescente.
3. Sottrarre dalla seconda riga due volte la prima e dalla terza tripla la prima.
4. Aggiungi la seconda riga alla terza riga.
5. Sottrarre la seconda riga dalla prima riga e allo stesso tempo dividere la terza riga per -10.
6. La prima fase è completata. Ora abbiamo bisogno di ottenere gli elementi nulli sopra la diagonale principale. Per fare ciò, sottrarre il terzo moltiplicato per 7 dalla prima riga e aggiungere il terzo moltiplicato per 5 alla seconda.
7. La matrice espansa finale si presenta così:
8. Corrisponde al sistema di equazioni:
Risposta: SLAU radice: x = 2, y = 3, z = 1.