In questa pubblicazione considereremo uno dei principali teoremi della geometria euclidea: il teorema di Stewart, che ha ricevuto un tale nome in onore del matematico inglese M. Stewart, che lo ha dimostrato. Analizzeremo anche in dettaglio un esempio di risoluzione del problema per consolidare il materiale presentato.
Enunciato del teorema
Dan triangolo ABC. Al suo fianco AC punto preso D, che è collegato alla parte superiore B. Accettiamo la seguente notazione:
- AB = a
- aC = b
- BD = pag
- dC = x
- DC = e
Per questo triangolo, l'uguaglianza è vera:
Applicazione del teorema
Dal teorema di Stewart, si possono derivare formule per trovare le mediane e le bisettrici di un triangolo:
1. La lunghezza della bisettrice
lasciare lc è la bisettrice disegnata di lato c, che è diviso in segmenti x и y. Prendiamo gli altri due lati del triangolo come a и b… In questo caso:
2. Lunghezza mediana
lasciare mc è la mediana girata di lato c. Indichiamo gli altri due lati del triangolo come a и b… Quindi:
Esempio di un problema
Triangolo dato ABC. Sul lato AC pari a 9 cm, punto preso D, che divide il lato in modo che AD il doppio del tempo DC. La lunghezza del segmento che collega il vertice B e punto D, è di 5 cm. In questo caso, il triangolo formato ABD è isoscele. Trova i lati rimanenti del triangolo ABC.
Soluzione
Descriviamo le condizioni del problema sotto forma di disegno.
AC = AD + DC = 9 cm. AD più a lungo DC due volte, es AD = 2DC.
Di conseguenza, il 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Così, DC = 3cm, AD = 6 cm.
Perché triangolo ABD – isoscele e lato AD è 6 cm, quindi sono uguali AB и BDIe AB = 5 cm.
Resta solo da trovare BC, derivando la formula dal teorema di Stewart:
Sostituiamo i valori noti in questa espressione:
In questo modo, BC = √52 ≈ 7,21 centimetri.