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In questa pubblicazione considereremo la definizione del rango di una matrice, nonché i metodi con cui può essere trovata. Analizzeremo anche esempi per dimostrare l'applicazione della teoria nella pratica.
Determinazione del rango di una matrice
Grado di matrice è il rango del suo sistema di righe o colonne. Ogni matrice ha i suoi ranghi di riga e colonna, che sono uguali tra loro.
Classifica del sistema di righe è il numero massimo di righe linearmente indipendenti. Il rango del sistema di colonne è determinato in modo simile.
Note:
- Il rango della matrice zero (indicata dal simbolo “θ") di qualsiasi dimensione è zero.
- Il rango di qualsiasi vettore riga o vettore colonna diverso da zero è uguale a uno.
- Se una matrice di qualsiasi dimensione contiene almeno un elemento che non è uguale a zero, il suo rango non è inferiore a uno.
- Il rango di una matrice non è maggiore della sua dimensione minima.
- Le trasformazioni elementari eseguite su una matrice non ne cambiano il rango.
Trovare il rango di una matrice
Metodo Fringing Minore
Il rango di una matrice è uguale all'ordine massimo di una matrice diversa da zero.
L'algoritmo è il seguente: trova i minori dagli ordini più bassi a quelli più alti. Se minore nl'ordine non è uguale a zero, e tutti i successivi (n+1) sono uguali a 0, quindi il rango della matrice è n.
Esempio
Per chiarire, prendiamo un esempio pratico e troviamo il rango della matrice A di seguito, utilizzando il metodo del confine con i minori.
Soluzione
Abbiamo a che fare con una matrice 4 × 4, quindi il suo rango non può essere maggiore di 4. Inoltre, ci sono elementi diversi da zero nella matrice, il che significa che il suo rango non è inferiore a uno. Quindi iniziamo:
1. Inizia a controllare minori di secondo ordine. Per cominciare, prendiamo due righe della prima e della seconda colonna.
Minore uguale a zero.
Pertanto, si passa al minore successivo (rimane la prima colonna e al posto della seconda prendiamo la terza).
Il minore è 54≠0, quindi il rango della matrice è almeno due.
Nota: Se questo minore risultasse uguale a zero, verificheremmo ulteriormente le seguenti combinazioni:
Se necessario, l'enumerazione può essere proseguita allo stesso modo con le stringhe:
- 1 e 3;
- 1 e 4;
- 2 e 3;
- 2 e 4;
- 3 e 4.
Se tutti i minori di secondo ordine fossero uguali a zero, il rango della matrice sarebbe uguale a uno.
2. Siamo riusciti quasi subito a trovare un minore adatto a noi. Quindi passiamo a minori di terzo ordine.
Al trovato minore del secondo ordine, che dava risultato diverso da zero, aggiungiamo una riga e una delle colonne evidenziate in verde (si parte dalla seconda).
Il minore si è rivelato zero.
Pertanto, cambiamo la seconda colonna nella quarta. E al secondo tentativo, riusciamo a trovare un minore che non sia uguale a zero, il che significa che il rango della matrice non può essere inferiore a 3.
Nota: se il risultato fosse di nuovo zero, invece della seconda riga, porteremmo più avanti la quarta e continueremmo la ricerca di un minore “buono”.
3. Ora resta da determinare minori di quarto ordine in base a quanto trovato in precedenza. In questo caso, è uno che corrisponde al determinante della matrice.
Minore è uguale a 144≠0. Ciò significa che il rango della matrice A è uguale a 4.
Riduzione di una matrice a una forma a gradini
Il rango di una matrice di passi è uguale al numero delle sue righe diverse da zero. Cioè, tutto ciò che dobbiamo fare è portare la matrice nella forma appropriata, ad esempio usando , che, come accennato in precedenza, non cambia il suo rango.
Esempio
Trova il rango di una matrice B sotto. Non prendiamo un esempio eccessivamente complesso, perché il nostro obiettivo principale è semplicemente quello di dimostrare l'applicazione pratica del metodo.
Soluzione
1. Innanzitutto, sottrai il primo raddoppiato dalla seconda riga.
2. Ora sottrai la prima riga dalla terza riga, moltiplicata per quattro.
Quindi, abbiamo ottenuto una matrice di passi in cui il numero di righe diverse da zero è uguale a due, quindi anche il suo rango è uguale a 2.