Trasformazioni identitarie delle espressioni

In questa pubblicazione considereremo i principali tipi di trasformazioni identiche di espressioni algebriche, accompagnandoli con formule ed esempi per dimostrarne l'applicazione pratica. Lo scopo di tali trasformazioni è sostituire l'espressione originale con un'altra identica.

Riordinare termini e fattori

In qualsiasi somma, puoi riordinare i termini.

un + b = b + un

In qualsiasi prodotto è possibile riorganizzare i fattori.

un ⋅ b = b ⋅ a

esempi:

• 1 + 2 = 2 + 1
• 128\cdot 32 = 32\cdot 128

Termini di raggruppamento (moltiplicatori)

Se nella somma sono presenti più di 2 termini, possono essere raggruppati tra parentesi. Se necessario, puoi prima scambiarli.

a+b+c+d= (a+c)+(b+d)

Nel prodotto puoi anche raggruppare i fattori.

un ⋅ b ⋅ c ⋅ d = (a ⋅ d) ⋅ (b ⋅ c)

esempi:

• 15 + 6 + 5 + 4 = (15 + 5) + (6 + 4)
• 6⋅8⋅11⋅4= (6 ⋅ 4 ⋅ 8) ⋅ 11

Addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione per lo stesso numero

Se lo stesso numero viene aggiunto o sottratto a entrambe le parti dell'identità, rimane vero.

If a + b = c + dpoi (a + b) ± e = (c + d) ± e.

Inoltre, l'uguaglianza non sarà violata se entrambe le sue parti vengono moltiplicate o divise per lo stesso numero.

If a + b = c + dpoi (a + b) ⋅/: e = (c + d) ⋅/: e.

esempi:

• 35 + 10 = 9 + 16 + 20 ⇒ (35 + 10) + 4 = (9 + 16 + 20) + 4
• 42 + 14 = 7⋅8 ⇒ (42 + 14) ⋅ 12 = (7 ⋅ 8) ⋅ 12

Sostituzione di una differenza con una somma (spesso un prodotto)

Qualsiasi differenza può essere rappresentata come una somma di termini.

a – b = a + (-b)

Lo stesso trucco può essere applicato alla divisione, ovvero sostituire frequente con prodotto.

un : b = un ⋅ b^-1

esempi:

• 76 – 15 – 29 = 76 + (-15) + (-29)
• 42 : 3 = 42⋅ 3^-1

Esecuzione di operazioni aritmetiche

Puoi semplificare un'espressione matematica (a volte in modo significativo) eseguendo operazioni aritmetiche (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni), tenendo conto delle ordine di esecuzione:

• prima eleviamo a potenza, estraiamo le radici, calcoliamo logaritmi, funzioni trigonometriche e altre;
• quindi eseguiamo le azioni tra parentesi;
• infine – da sinistra a destra, esegui le restanti azioni. Moltiplicazione e divisione hanno la precedenza su addizione e sottrazione. Questo vale anche per le espressioni tra parentesi.

esempi:

• 14 + 6 ⋅ (35 – 16 ⋅ 2) + 11 ⋅ 3 = 14 + 18 + 33 = 65
• 20: 4 + 2 ⋅ (25 ⋅ 3 – 15) – 9 + 2 ⋅ 8 = 5 + 120 - 9 + 16 = 132

Espansione staffa

Le parentesi in un'espressione aritmetica possono essere rimosse. Questa azione viene eseguita secondo alcuni, a seconda di quali segni ("più", "meno", "moltiplicare" o "dividere") sono prima o dopo le parentesi.

esempi:

• 117+ (90 – 74 – 38) = 117+90 – 74 – 38
• 1040 – (-218 – 409 + 192) = 1040 + 218 + 409 – 192
• 22⋅(8+14) = 22⋅8 + 22⋅14
• 18: (4 – 6) = 18:4 - 18:6

Tra parentesi il fattore comune

Se tutti i termini nell'espressione hanno un fattore comune, può essere tolto da parentesi, in cui rimarranno i termini divisi per questo fattore. Questa tecnica si applica anche alle variabili letterali.

esempi:

• 3\cdot 5 + 5\cdot 6 = 5⋅(3+6)
• 28 + 56 – 77 = 7⋅ (4 + 8 – 11)
• 31x + 50x = x ⋅ (31 + 50)

Applicazione di formule di moltiplicazione abbreviate

Puoi anche utilizzare per eseguire trasformazioni identiche di espressioni algebriche.

esempi:

• (31 + 4)² = 31² + 2 ⋅ 31 ⋅ 4 + 4² = 1225
• 26² - 7² = (26 – 7) ⋅ (26 + 7) = 627