Qual è il limite di una funzione

In questa pubblicazione considereremo uno dei concetti principali dell'analisi matematica: il limite di una funzione: la sua definizione, nonché varie soluzioni con esempi pratici.

Determinazione del limite di una funzione

Limite di funzione – il valore a cui tende il valore di questa funzione quando il suo argomento tende al punto limite.

Limite record:

• il limite è indicato dall'icona lim;
• sotto viene aggiunto a quale valore tende l'argomento (variabile) della funzione. Di solito questo x, ma non necessariamente, ad esempio:x→1″;
• quindi la funzione stessa viene aggiunta a destra, ad esempio:

  

Pertanto, il record finale del limite si presenta così (nel nostro caso):

Si legge come "limite della funzione in quanto x tende all'unità".

x→ 1 – questo significa che “x” assume costantemente valori che si avvicinano all'infinito all'unità, ma non coincideranno mai con essa (non sarà raggiunta).

Limiti di decisione

Con un dato numero

Risolviamo il limite sopra. Per fare ciò, è sufficiente sostituire l'unità nella funzione (perché x→1):

Quindi, per risolvere il limite, proviamo prima semplicemente a sostituire il numero dato nella funzione sottostante (se x tende a un numero specifico).

Con l'infinito

In questo caso, l'argomento della funzione aumenta all'infinito, cioè "X" tende all'infinito (∞). Per esempio:

If x→∞, allora la funzione data tende a meno infinito (-∞), perché:

• 3 - 1 2 =
• 3-10 = -7
• 3-100 = -97
• 3 – 1000 – 997 ecc.

Un altro esempio più complesso

Per risolvere questo limite, inoltre, è sufficiente aumentare i valori x e guarda il "comportamento" della funzione in questo caso.

• RџSЂRo x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRo x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRo x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Quindi, per "X"tendente all'infinito, la funzione x² +3x –6 cresce all'infinito.

Con incertezza (x tende all'infinito)

In questo caso si tratta di limiti, quando la funzione è una frazione, il cui numeratore e denominatore sono polinomi. in cui "X" tende all'infinito.

Esempio: calcoliamo il limite di seguito.

Soluzione

Le espressioni sia al numeratore che al denominatore tendono all'infinito. Si può presumere che in questo caso la soluzione sarà la seguente:

Tuttavia, non tutto così semplice. Per risolvere il limite dobbiamo fare quanto segue:

1. Trova x alla massima potenza per il numeratore (nel nostro caso sono due).

2. Allo stesso modo, definiamo x alla potenza massima per il denominatore (uguale anche a due).

3. Ora dividiamo sia il numeratore che il denominatore per x in laurea. Nel nostro caso, in entrambi i casi – nel secondo, ma se fossero diversi, dovremmo prendere il grado più alto.

4. Nel risultato risultante, tutte le frazioni tendono a zero, quindi la risposta è 1/2.

Con incertezza (x tende a un numero specifico)

Sia il numeratore che il denominatore sono polinomi, tuttavia, "X" tende a un numero specifico, non all'infinito.

In questo caso, chiudiamo condizionalmente gli occhi sul fatto che il denominatore è zero.

Esempio: Troviamo il limite della funzione di seguito.

Soluzione

1. Per prima cosa, sostituiamo il numero 1 nella funzione, a cui "X". Otteniamo l'incertezza della forma che stiamo considerando.

2. Successivamente, scomponiamo il numeratore e il denominatore in fattori. Per fare ciò, puoi utilizzare le formule di moltiplicazione abbreviate, se adatte, oppure.

Nel nostro caso, le radici dell'espressione al numeratore (2x² – 5x + 3 = 0) sono i numeri 1 e 1,5. Pertanto, può essere rappresentato come: 2(x-1)(x-1,5).

Denominatore (x–1) è inizialmente semplice.

3. Otteniamo un limite così modificato:

4. La frazione può essere ridotta di (x–1):

5. Non resta che sostituire il numero 1 nell'espressione ottenuta sotto il limite: